Dérivée de argsinh x

La dérivée f’ de la fonction f(x) = \operatorname{argsinh} x est : $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$

Dérivée de \operatorname{argsinh} x

La dérivée $f^{\prime }$ de la fonction $f(x)=\mathrm{argsinh}(x)$ est donnée par :

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$$

Preuve

Rappelons que la fonction \operatorname{argsinh} est la fonction inverse de la fonction sinh :

$$(f^{-1}\circ f)=(\sinh \circ \mathrm{argsinh})(x)=\sinh (\mathrm{argsinh}(x))=x$$

En utilisant le résultat de la dérivée des fonctions inverses, nous avons :

$$(g^{-1}{)}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{g^{\prime }(g^{-1}(x))}}$$

En prenant $g^{-1}=f=\mathrm{argsinh}$ et $g=f^{-1}=\sinh$, nous obtenons :

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{{\sinh }^{\prime }(f(x))}}$$

Puisque :

Dérivée du sinus hyperbolique sinh x, $g(x)=\sinh x$ est donnée par :

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},g^{\prime }(x)=\cosh x$$

Alors, nous avons :

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{1}{{\sinh }^{\prime }(f(x))}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\cosh (f(x))}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\cosh (\mathrm{argsinh}x)}}\end{array}$$

Nous savons que :

$$\mathrm{\forall }X\in \mathbb{R},{\cosh }^{2}X-{\sinh }^{2}X=1$$

et, par définition :

$$(f^{-1}\circ f)=(\sinh \circ \mathrm{argsinh})(x)=\sinh (\mathrm{argsinh}(x))=x$$

En prenant $X=\mathrm{argsinh}x$, cela donne :

$$\begin{array}{rl}1& ={\cosh }^{2}X-{\sinh }^{2}X\\ & ={\cosh }^2(\mathrm{argsinh}x)-{\sinh }^2(\mathrm{argsinh}x)\\ & ={\cosh }^2(\mathrm{argsinh}x)-x^2\end{array}$$

Maintenant, nous avons :

$${\cosh }^2(\mathrm{argsinh}x)=x^2+1⟹\cosh (\mathrm{argsinh}x)=\pm \sqrt{x^2+1}$$

La fonction \operatorname{argsinh} x est définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ et nous avons :

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{argsinh}x\in \mathbb{R}$$

Depuis que le domaine de définition de la fonction \operatorname{argsinh} x est $\mathbb{R}$, alors le cosinus hyperbolique de \operatorname{argsinh} x, $\cosh (\mathrm{argsinh}x)$, est toujours positif. Ainsi, la seule possibilité est :

$$\cosh (\mathrm{argsinh}x)=+\sqrt{x^2+1}$$

Nous concluons que :

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\cosh (\mathrm{argsinh}x)}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$$