La dérivée f’ de la fonction f(x) = \operatorname{argsinh} x est : \(\forall x \in \mathbb{R},\quad f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)

Dérivée de \operatorname{argsinh} x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x) = \operatorname{argsinh}(x)$ est donnée par :

\[\forall x \in \mathbb{R},\quad f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

Preuve

Rappelons que la fonction \operatorname{argsinh} est la fonction inverse de la fonction sinh :

\[(f^{-1} \circ f) = (\sinh \circ \operatorname{argsinh})(x) = \sinh(\operatorname{argsinh}(x)) = x\]

En utilisant le résultat de la dérivée des fonctions inverses, nous avons :

\[(g^{-1})^{\prime}(x) = \dfrac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))}\]

En prenant $g^{-1} = f = \operatorname{argsinh}$ et $g = f^{-1} = \sinh$, nous obtenons :

\[f'(x) = \dfrac{1}{\sinh^{\prime}(f(x))}\]

Puisque :

Dérivée du sinus hyperbolique sinh x, $g(x) = \sinh x$ est donnée par :

\[\forall x \in \mathbb{R},\quad g'(x) = \cosh x\]

Alors, nous avons :

\[\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{\sinh^{\prime}(f(x))}\\ &= \dfrac{1}{\cosh(f(x))}\\ &= \dfrac{1}{\cosh(\operatorname{argsinh} x)}\\ \end{aligned}\]

Nous savons que :

\[\forall X \in \mathbb{R},\quad \cosh^2 X - \sinh^2 X = 1\]

et, par définition :

\[(f^{-1} \circ f) = (\sinh \circ \operatorname{argsinh})(x)={\color{red}{\sinh(\operatorname{argsinh}(x)) = x}}\]

En prenant $X = \operatorname{argsinh} x$, cela donne :

\[\begin{aligned} 1 &= \cosh^2 X - \sinh^2 X\\ &= \cosh^2(\operatorname{argsinh} x) - {\color{red}{\sinh^2(\operatorname{argsinh} x)}}\\ &= \cosh^2(\operatorname{argsinh} x) - {\color{red}{x^2}}\\ \end{aligned}\]

Maintenant, nous avons :

\[\cosh^2(\operatorname{argsinh} x) = x^2 + 1 \Longrightarrow \cosh(\operatorname{argsinh} x) = \pm \sqrt{x^2 + 1}\]

La fonction \operatorname{argsinh} x est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ et nous avons :

\[\forall x \in \mathbb{R},\quad \operatorname{argsinh} x \in \mathbb{R}\]

Depuis que le domaine de définition de la fonction \operatorname{argsinh} x est $\mathbb{R}$, alors le cosinus hyperbolique de \operatorname{argsinh} x, $\cosh(\operatorname{argsinh} x)$, est toujours positif. Ainsi, la seule possibilité est :

\[\cosh(\operatorname{argsinh} x) = + \sqrt{x^2 + 1}\]

Nous concluons que :

\[\forall x \in \mathbb{R},\quad f'(x) = \dfrac{1}{\cosh(\operatorname{argsinh} x)} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\]