La dérivée du produit u(x).v(x) est donné par : u’(x).v(x) + u(x). v’(x). Nous allons en faire la démonstration en utilisant les notions de limite et de nombre dérivé.

Dérivée de u(x) * v(x)

Soit $u(x)$ et $v(x)$ deux fonctions de variable réelle $x$. La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ est donnée par :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

Démonstration

En utilisant la définition de la dérivée, on a :

\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{v(x+h)(u(x+h)-u(x))}{h} + \lim_{h\to 0} \frac{u(x)(v(x+h)-v(x))}{h} \\ &= v(x) \cdot \lim_{h\to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} + u(x) \cdot \lim_{h\to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h} \\ &= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \end{aligned}\]

Ainsi, on a :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]