Dérivée de arccos x

La dérivée f’ de la fonction f(x)=arccos x est: f’(x) = - 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .

Dérivée de arccos x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\arccos{x}$ est:

\[\forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction $\arccos$ est la fonction réciproque de $\cos$ autrement dit:

\[\left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\cos \circ \arccos\right)(x)=\cos(\arccos(x))=x\]

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a:

\[(g^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))}\]

En posant: $g^{-1}=f=\arccos$ et donc $g=f^{-1}=\cos$, on a: \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos^{\prime}(f(x))}\)

Or:

La dérivée de la fonction cosinus , $g(x)=\cos x$ est:

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad g'(x) = - \sin x\]

On a alors:

\[\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{1}{\cos^{\prime}(f(x))}\\ &=-\frac{1}{\sin (f(x))}\\ &=-\frac{1}{\sin (\arccos x)}\\ \end{aligned}\]

On a par ailleurs:

\[\forall X \in \mathbb{R}, \quad \cos^2 X + \sin^2 X =1\]

et

par définition: \(\left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\cos \circ \arccos\right)(x)={\color{red}{\cos(\arccos(x))=x}}\)

En posant $X=\arccos x$, cela donne:

\[\begin{aligned} 1&=\cos^2 X + \sin^2 X\\ &={\color{red}{\cos^2 (\arccos x)}} + \sin^2 (\arccos x) \\ &={\color{red}{x^2}} + \sin^2 (\arccos x) \\ \end{aligned}\]

On obtient alors:

\[\sin^2 (\arccos x) = 1 - x^2 \Longrightarrow \sin (\arccos x) = \pm \sqrt{1 - x^2}\]

La fonction $\arccos x$ est définie pour tout $x \in [-1,1]$ et on a en l’occurrence:

\[\forall x \in [-1,1], \quad \arccos x \in [0, \pi]\]

puisque fonction réciproque de $\cos:[0, \pi] \to [-1,1]$.

Dès lors si l’angle $\arccos x \in \displaystyle [0, \pi]$, alors le sinus de cet angle $\sin (\arccos x)$ est positif ou nul. La seule solution possible est alors:

\[\sin (\arccos x) = + \sqrt{1 - x^2}\]

On conclut que:

\[\forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f'(x) = - \frac{1}{\sin (\arccos x)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\]