Dérivée de arccos x

La dérivée f’ de la fonction f(x)=arccos x est: f’(x) = - 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .

Dérivée de arccos x

La dérivée $f^{\prime }$ de la fonction $f(x)=\arccos x$ est:

$$\mathrm{\forall }x\in ]–1,1[,f^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction $\arccos$ est la fonction réciproque de $\cos$ autrement dit:

$$(f^{-1}\circ f)=(\cos \circ \arccos )(x)=\cos (\arccos (x))=x$$

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a:

$$(g^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{g^{\prime }(g^{-1}(x))}$$

En posant: $g^{-1}=f=\arccos$ et donc $g=f^{-1}=\cos$, on a: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{\prime }(f(x))}$

Or:

La dérivée de la fonction cosinus , $g(x)=\cos x$ est:

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},g^{\prime }(x)=-\sin x$$

On a alors:

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{1}{{\cos }^{\prime }(f(x))}\\ & =-\frac{1}{\sin (f(x))}\\ & =-\frac{1}{\sin (\arccos x)}\end{array}$$

On a par ailleurs:

$$\mathrm{\forall }X\in \mathbb{R},{\cos }^{2}X+{\sin }^{2}X=1$$

et

par définition: $(f^{-1}\circ f)=(\cos \circ \arccos )(x)=\cos (\arccos (x))=x$

En posant $X=\arccos x$, cela donne:

$$\begin{array}{rl}1& ={\cos }^{2}X+{\sin }^{2}X\\ & ={\cos }^2(\arccos x)+{\sin }^2(\arccos x)\\ & =x^2+{\sin }^2(\arccos x)\end{array}$$

On obtient alors:

$${\sin }^2(\arccos x)=1-x^2⟹\sin (\arccos x)=\pm \sqrt{1-x^2}$$

La fonction $\arccos x$ est définie pour tout $x\in [-1,1]$ et on a en l’occurrence:

$$\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\arccos x\in [0,\pi ]$$

puisque fonction réciproque de $\cos :[0,\pi ]\to [-1,1]$.

Dès lors si l’angle $\arccos x\in {\displaystyle [0,\pi ]}$, alors le sinus de cet angle $\sin (\arccos x)$ est positif ou nul. La seule solution possible est alors:

$$\sin (\arccos x)=+\sqrt{1-x^2}$$

On conclut que:

$$\mathrm{\forall }x\in ]–1,1[,f^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sin (\arccos x)}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$