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La dérivée f’ de ln u définie pour par f(x)=ln(u(x)) est pour tout u(x) strictement positif f’(x)=u’(x) / u(x).
Soit $u(x)$ une fonction de variable réelle $x$ telle que $u(x) > 0$. La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x) = \ln(u(x))$ est donnée par :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f’(x) = \frac{u’(x)}{u(x)} $$
On considère la fonction $g(x) = \ln(x)$ et la fonction $h(x) = u(x)$. Alors, $f(x) = g(h(x))$. En utilisant la règle de dérivation de la composition de fonction, on a :
$$ f’(x) = g’(h(x)) \cdot h’(x) $$
En utilisant la dérivée de la fonction $g(x) = \ln(x)$, on a :
$$ g’(x) = \frac{1}{x} $$
Donc :
$$ g’(h(x)) = \frac{1}{u(x)} $$
En utilisant la dérivée de la fonction $u(x)$, on a :
$$ h’(x) = u’(x) $$
Finalement, on obtient :
$$ f’(x) = \frac{u’(x)}{u(x)} $$
On en déduit que :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f’(x) = \frac{u’(x)}{u(x)} $$