Dérivée de ln u

Dérivée de ln(u(x))

Soit $u(x)$ une fonction de variable réelle $x$ telle que $u(x) > 0$. La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x) = \ln(u(x))$ est donnée par :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f’(x) = \frac{u’(x)}{u(x)} $$

Démonstration

On considère la fonction $g(x) = \ln(x)$ et la fonction $h(x) = u(x)$. Alors, $f(x) = g(h(x))$. En utilisant la règle de dérivation de la composition de fonction, on a :

$$ f’(x) = g’(h(x)) \cdot h’(x) $$

En utilisant la dérivée de la fonction $g(x) = \ln(x)$, on a :

$$ g’(x) = \frac{1}{x} $$

Donc :

$$ g’(h(x)) = \frac{1}{u(x)} $$

En utilisant la dérivée de la fonction $u(x)$, on a :

$$ h’(x) = u’(x) $$

Finalement, on obtient :

$$ f’(x) = \frac{u’(x)}{u(x)} $$

On en déduit que :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f’(x) = \frac{u’(x)}{u(x)} $$