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La dérivée de 1/u pour tout u(x) non nul est donnée par : -u’/u^2. Nous allons en faire la démonstration en utilisant les notions de limite et de nombre dérivé.
Soit $u(x)$ une fonction de variable réelle $x$ telle que $u(x)\neq 0$ et $f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$.
La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x)$ est :
$$ \forall x \in \mathbb{R}^* , f’(x) = -\frac{u’(x)}{u^2(x)}$$
Soit $x \in \mathbb{R}^*$ tel que $u(x)\neq 0$.
$$ \begin{aligned} f’(x)=&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{1}{u(x+h)}-\dfrac{1}{u(x)}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{u(x)-u(x+h)}{h\cdot u(x)u(x+h)}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} -\frac{(u(x+h)-u(x))}{h\cdot u(x)u(x+h)}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} -\frac{(u(x+h)-u(x))}{h}\frac{1}{u(x)u(x+h)}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} -u’(x)\cdot\frac{1}{u(x)u(x+h)}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} -\frac{u’(x)}{u(x)u(x+h)}\\ =&-\frac{u’(x)}{u^2(x)} \end{aligned} $$
On a alors :
$$ \forall x \in \mathbb{R}^* , f’(x) = -\frac{u’(x)}{u^2(x)}$$