Math-Linux.com

Knowledge base dedicated to Linux and applied mathematics.

Accueil > Mathématiques > Dérivée de fonction > Dérivée de 1/u

Dérivée de 1/u

Toutes les versions de cet article : <English> <français>

La dérivée de 1/u pour tout u(x) non nul est donnée par : -u’/u^2. Nous allons en faire la démonstration en utilisant les notions de limite et de nombre dérivé.

Dérivée de 1/u(x)

Soit $u(x)$ une fonction de variable réelle $x$ telle que $u(x)\neq 0$ et $f(x) = \dfrac{1}{u(x)}$.

La dérivée $f’(x)$ de la fonction $f(x)$ est :

$$ \forall x \in \mathbb{R}^* , f’(x) = -\frac{u’(x)}{u^2(x)}$$

Démonstration

Soit $x \in \mathbb{R}^*$ tel que $u(x)\neq 0$.

$$ \begin{aligned} f’(x)=&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{1}{u(x+h)}-\dfrac{1}{u(x)}}{h}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} \frac{u(x)-u(x+h)}{h\cdot u(x)u(x+h)}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} -\frac{(u(x+h)-u(x))}{h\cdot u(x)u(x+h)}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} -\frac{(u(x+h)-u(x))}{h}\frac{1}{u(x)u(x+h)}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} -u’(x)\cdot\frac{1}{u(x)u(x+h)}\\ =&\lim_{h \rightarrow 0} -\frac{u’(x)}{u(x)u(x+h)}\\ =&-\frac{u’(x)}{u^2(x)} \end{aligned} $$

On a alors :

$$ \forall x \in \mathbb{R}^* , f’(x) = -\frac{u’(x)}{u^2(x)}$$

Dans la même rubrique

  1. Dérivée de 1/u
  2. Dérivée de 1/x
  3. Dérivée de arccos x
  4. Dérivée de arcsin x
  5. Dérivée de arctan x
  6. Dérivée de cos x
  7. Dérivée de exp x, e^x
  8. Dérivée de exp(u)
  9. Dérivée de fonction composée
  10. Dérivée de fonction réciproque
  11. Dérivée de ln u
  12. Dérivée de ln x
  13. Dérivée de racine de x
  14. Dérivée de sin x
  15. Dérivée de tan x
  16. Dérivée de u*v, u fois v
  17. Dérivée de u/v
  18. Dérivée de x puissance n