Dérivée de 1/u

La dérivée de 1/u pour tout u(x) non nul est donnée par: -u’/u^2. Nous allons en faire la démonstration en utilisant les notions de limite et de nombre dérivé.

Dérivée de 1/u(x)

Soit $u(x)$ une fonction de variable réelle $x$ telle que $u(x)\ne 0$ et $f(x)={\displaystyle \frac{1}{u(x)}}$.

La dérivée $f^{\prime }(x)$ de la fonction $f(x)$ est:

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast },f^{\prime }(x)=-\frac{u^{\prime }(x)}{u^2(x)}$$

Démonstration

Soit $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ tel que $u(x)\ne 0$.

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=& \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{{\displaystyle \frac{1}{u(x+h)}}-{\displaystyle \frac{1}{u(x)}}}{h}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x)-u(x+h)}{h\cdot u(x)u(x+h)}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}-\frac{(u(x+h)-u(x))}{h\cdot u(x)u(x+h)}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}-\frac{(u(x+h)-u(x))}{h}\frac{1}{u(x)u(x+h)}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}-u^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{u(x)u(x+h)}\\ =& \underset{h\to 0}{lim}-\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)u(x+h)}\\ =& -\frac{u^{\prime }(x)}{u^2(x)}\end{array}$$

On a alors:

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast },f^{\prime }(x)=-\frac{u^{\prime }(x)}{u^2(x)}$$