La dérivée f’ de la fonction f(x)=arcsin x est: f’(x) = 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .

Dérivée de arcsin x

La dérivée f′ de la fonction f(x)=arcsin⁡x est: ∀x∈]–1,1[,f′(x)=11−x2

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction arcsin est la fonction réciproque de sin autrement dit:

(f−1∘f)=(sin∘arcsin)(x)=sin⁡(arcsin⁡(x))=x

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a:

(g−1)′(x)=1g′(g−1(x))

En posant: g−1=f=arcsin et donc g=f−1=sin, on a: f′(x)=1sin′⁡(f(x))

Or:

La dérivée de la fonction sinus , g(x)=sin⁡x est:

∀x∈R,g′(x)=cos⁡x

On a alors:

f′(x)=1sin′⁡(f(x))=1cos⁡(f(x))=1cos⁡(arcsin⁡x)

On a par ailleurs:

∀X∈R,cos2⁡X+sin2⁡X=1

et

par définition: (f−1∘f)=(sin∘arcsin)(x)=sin⁡(arcsin⁡(x))=x

En posant X=arcsin⁡x, cela donne:

1=cos2⁡X+sin2⁡X=cos2⁡(arcsin⁡x)+sin2⁡(arcsin⁡x)=cos2⁡(arcsin⁡x)+x2

On obtient alors:

cos2⁡(arcsin⁡x)=1−x2⟹cos⁡(arcsin⁡x)=±1−x2

La fonction arcsin⁡x est définie pour tout x∈[−1,1] et on a en l’occurrence:

∀x∈[−1,1],arcsin⁡x∈[−π2,π2]

puisque fonction réciproque de sin:[−π2,π2]→[−1,1].

Dès lors si l’angle arcsin⁡x∈[−π2,π2], alors le cosinus de cet angle cos⁡(arcsin⁡x) est positif ou nul. La seule solution possible est alors:

cos⁡(arcsin⁡x)=+1−x2

On conclut que:

∀x∈]–1,1[,f′(x)=1cos⁡(arcsin⁡x)=11−x2