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La dérivée f’ de la fonction f(x)=arcsin x est : f’(x) = 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .
La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\arcsin{x}$ est :
$$ \forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f’(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
Pour rappel, la fonction $\arcsin$ est la fonction réciproque de $\sin$ autrement dit :
$$ \left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\sin \circ \arcsin\right)(x)=\sin(\arcsin(x))=x $$
On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a :
$$ (g^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))} $$
En posant : $g^{-1}=f=\arcsin$ et donc $g=f^{-1}=\sin$, on a :
$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sin^{\prime}(f(x))} $$
Or :
La dérivée de la fonction sinus, $g(x)=\sin x$ est :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad g’(x) = \cos x $$
On a alors :
$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{1}{\sin^{\prime}(f(x))}\\ &=\frac{1}{\cos (f(x))}\\ &=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}\\ \end{aligned} $$
On a par ailleurs :
$$\forall X \in \mathbb{R}, \quad \cos^2 X + \sin^2 X =1$$
et
par définition :
$$ \left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\sin \circ \arcsin \right)(x)={\color{red}{\sin(\arcsin(x))=x}} $$
En posant $X=\arcsin x$, cela donne :
$$ \begin{aligned} 1&=\cos^2 X + \sin^2 X\\ &=\cos^2 (\arcsin x) + {\color{red}{\sin^2 (\arcsin x)}}\\ &=\cos^2 (\arcsin x) + {\color{red}{x^2}}\\ \end{aligned} $$
On obtient alors :
$$ \cos^2 (\arcsin x) = 1 - x^2 \Longrightarrow \cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$
La fonction $\arcsin x$ est définie pour tout $x \in [-1,1]$ et on a en l’occurrence :
$$ \forall x \in [-1,1], \quad \arcsin x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$
puisque fonction réciproque de $\sin :[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \to [-1,1]$.
Dès lors si l’angle $\arcsin x \in \displaystyle [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, alors le cosinus de cet angle $\cos (\arcsin x)$ est positif ou nul. La seule solution possible est alors :
$$ \cos (\arcsin x) = + \sqrt{1 - x^2} $$
On conclut que :
$$ \forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f’(x) = \frac{1}{\cos (\arcsin x)}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$