Dérivée de arcsin x

La dérivée f’ de la fonction f(x)=arcsin x est: f’(x) = 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .

Dérivée de arcsin x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\arcsin{x}$ est: \(\forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction $\arcsin$ est la fonction réciproque de $\sin$ autrement dit:

\[\left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\sin \circ \arcsin\right)(x)=\sin(\arcsin(x))=x\]

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a:

\[(g^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))}\]

En posant: $g^{-1}=f=\arcsin$ et donc $g=f^{-1}=\sin$, on a: \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sin^{\prime}(f(x))}\)

Or:

La dérivée de la fonction sinus , $g(x)=\sin x$ est:

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad g'(x) = \cos x\]

On a alors:

\[\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{1}{\sin^{\prime}(f(x))}\\ &=\frac{1}{\cos (f(x))}\\ &=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}\\ \end{aligned}\]

On a par ailleurs:

\[\forall X \in \mathbb{R}, \quad \cos^2 X + \sin^2 X =1\]

et

par définition: \(\left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\sin \circ \arcsin \right)(x)={\color{red}{\sin(\arcsin(x))=x}}\)

En posant $X=\arcsin x$, cela donne:

\[\begin{aligned} 1&=\cos^2 X + \sin^2 X\\ &=\cos^2 (\arcsin x) + {\color{red}{\sin^2 (\arcsin x)}}\\ &=\cos^2 (\arcsin x) + {\color{red}{x^2}}\\ \end{aligned}\]

On obtient alors:

\[\cos^2 (\arcsin x) = 1 - x^2 \Longrightarrow \cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1 - x^2}\]

La fonction $\arcsin x$ est définie pour tout $x \in [-1,1]$ et on a en l’occurrence:

\[\forall x \in [-1,1], \quad \arcsin x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\]

puisque fonction réciproque de $\sin:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \to [-1,1]$.

Dès lors si l’angle $\arcsin x \in \displaystyle [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, alors le cosinus de cet angle $\cos (\arcsin x)$ est positif ou nul. La seule solution possible est alors:

\[\cos (\arcsin x) = + \sqrt{1 - x^2}\]

On conclut que:

\[\forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f'(x) = \frac{1}{\cos (\arcsin x)}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\]