La dérivée f’ de la fonction f(x)=arcsin x est: f’(x) = 1 / √(1 - x²) pour tout x dans ]-1,1[. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser la dérivée la fonction de la fonction réciproque .

Dérivée de arcsin x

La dérivée f de la fonction f(x)=arcsinx est: x]1,1[,f(x)=11x2

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction arcsin est la fonction réciproque de sin autrement dit:

(f1f)=(sinarcsin)(x)=sin(arcsin(x))=x

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a:

(g1)(x)=1g(g1(x))

En posant: g1=f=arcsin et donc g=f1=sin, on a: f(x)=1sin(f(x))

Or:

La dérivée de la fonction sinus , g(x)=sinx est:

xR,g(x)=cosx

On a alors:

f(x)=1sin(f(x))=1cos(f(x))=1cos(arcsinx)

On a par ailleurs:

XR,cos2X+sin2X=1

et

par définition: (f1f)=(sinarcsin)(x)=sin(arcsin(x))=x

En posant X=arcsinx, cela donne:

1=cos2X+sin2X=cos2(arcsinx)+sin2(arcsinx)=cos2(arcsinx)+x2

On obtient alors:

cos2(arcsinx)=1x2cos(arcsinx)=±1x2

La fonction arcsinx est définie pour tout x[1,1] et on a en l’occurrence:

x[1,1],arcsinx[π2,π2]

puisque fonction réciproque de sin:[π2,π2][1,1].

Dès lors si l’angle arcsinx[π2,π2], alors le cosinus de cet angle cos(arcsinx) est positif ou nul. La seule solution possible est alors:

cos(arcsinx)=+1x2

On conclut que:

x]1,1[,f(x)=1cos(arcsinx)=11x2