Dérivée de arcsin x

Dérivée de arcsin x

La dérivée $f’$ de la fonction $f(x)=\arcsin{x}$ est :

$$ \forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f’(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

Preuve/Démonstration

Pour rappel, la fonction $\arcsin$ est la fonction réciproque de $\sin$ autrement dit :

$$ \left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\sin \circ \arcsin\right)(x)=\sin(\arcsin(x))=x $$

On utilise le résultat de la dérivée d’une fonction réciproque, on a :

$$ (g^{-1})^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(g^{-1}(x))} $$

En posant : $g^{-1}=f=\arcsin$ et donc $g=f^{-1}=\sin$, on a :

$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sin^{\prime}(f(x))} $$

Or :

La dérivée de la fonction sinus, $g(x)=\sin x$ est :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad g’(x) = \cos x $$

On a alors :

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\frac{1}{\sin^{\prime}(f(x))}\\ &=\frac{1}{\cos (f(x))}\\ &=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}\\ \end{aligned} $$

On a par ailleurs :

$$\forall X \in \mathbb{R}, \quad \cos^2 X + \sin^2 X =1$$

et

par définition :

$$ \left(f^{-1} \circ f\right)=\left(\sin \circ \arcsin \right)(x)={\color{red}{\sin(\arcsin(x))=x}} $$

En posant $X=\arcsin x$, cela donne :

$$ \begin{aligned} 1&=\cos^2 X + \sin^2 X\\ &=\cos^2 (\arcsin x) + {\color{red}{\sin^2 (\arcsin x)}}\\ &=\cos^2 (\arcsin x) + {\color{red}{x^2}}\\ \end{aligned} $$

On obtient alors :

$$ \cos^2 (\arcsin x) = 1 - x^2 \Longrightarrow \cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

La fonction $\arcsin x$ est définie pour tout $x \in [-1,1]$ et on a en l’occurrence :

$$ \forall x \in [-1,1], \quad \arcsin x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$

puisque fonction réciproque de $\sin :[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \to [-1,1]$.

Dès lors si l’angle $\arcsin x \in \displaystyle [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, alors le cosinus de cet angle $\cos (\arcsin x)$ est positif ou nul. La seule solution possible est alors :

$$ \cos (\arcsin x) = + \sqrt{1 - x^2} $$

On conclut que :

$$ \forall x \in ]–1, 1[ ,\quad f’(x) = \frac{1}{\cos (\arcsin x)}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$